数学期望常用公式

更新日期：2026-09-18 01:34:39

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数学期望常用公式

内容

在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念，它反映了随机变量在大量重复试验中所取值的平均趋势。数学期望不仅在理论研究中有广泛应用，在实际问题中也具有重要的指导意义。本文将对常见的数学期望公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和理解。

一、基本定义

数学期望（Expected Value），通常用 $ E(X) $ 表示，是对随机变量 $ X $ 在其所有可能取值上的加权平均。权重为各个取值发生的概率。

对于离散型随机变量 $ X $，其数学期望为：

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i)

对于连续型随机变量 $ X $，其数学期望为：

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

其中 $ f(x) $ 是 $ X $ 的概率密度函数。

二、常见分布的数学期望公式

以下是一些常见概率分布的数学期望公式：

分布名称	概率质量函数或密度函数	数学期望 $ E(X) $
两点分布（0-1分布）	$ P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p $	$ p $
二项分布 $ B(n, p) $	$ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $	$ np $
泊松分布 $ P(\lambda) $	$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $	$ \lambda $
均匀分布 $ U(a, b) $	$ f(x) = \frac{1}{b - a}, \quad a \leq x \leq b $	$ \frac{a + b}{2} $
正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $	$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $	$ \mu $
指数分布 $ Exp(\lambda) $	$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0 $	$ \frac{1}{\lambda} $
几何分布 $ Ge(p) $	$ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p $	$ \frac{1}{p} $

三、数学期望的性质

1. 线性性：对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有

E(aX + b) = aE(X) + b

2. 可加性：对于两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

3. 独立性：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则

E(XY) = E(X)E(Y)

4. 非负性：若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $

四、应用举例

例如，设某次考试的及格率为 $ p = 0.7 $，那么一个考生是否及格可以看作是两点分布，其数学期望为 $ E(X) = 0.7 $，表示每次考试中平均有 70% 的人及格。

又如，假设某电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从泊松分布 $ P(3) $，则平均每分钟接到的呼叫次数为 3 次。

五、结语

数学期望是概率统计中的核心概念之一，掌握其公式和性质有助于更好地理解和分析随机现象。通过上述总结和表格，读者可以快速了解各类分布的期望表达式及其基本性质，从而在实际问题中灵活运用。

如需进一步了解协方差、方差等其他统计量，也可继续查阅相关资料。

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